7×10²⁷ 到底有多大？轻松搞懂超大数字

♣ 新手

拿一粒沙。把十粒排成一排：10。把十排并在一起，就是一片 100。再把十片摞起来，就是一块 1000 粒的立方体。

每做一次，就乘以十，数字就多 一个零。诀窍就这一个：每多一个零，就是乘以 10。

所以不用把零一个个写出来，数一数就行。1000 有三个零，写成 10³（“十的三次方”）。一百万有六个零：10⁶。7×10²⁷ 的意思是”7 后面跟 27 个零”。

数零能避免大数字最傻的错误：不小心漏掉一个零，结果就错了十倍。

♦ 进阶

把 7 后面写 27 个零，既麻烦又容易出错。科学记数法解决了这个问题：前面的数在 1 到 10 之间，再乘以 10 的若干次方，这个次数叫指数。指数说的是小数点移动几位。

• 7000000 = 7×10⁶：小数点向左跳 6 位。
• 0.0003 = 3×10⁻⁴：指数是负的，说明小数点往另一边跳。这是个很小的数，不是负数。

计算时，相乘就把指数相加，相除就相减：(2×10³) × (4×10⁵) = 8×10⁸。

前面那个数的小数位说明你知道得多精确：7×10²⁷ 是”大约 7”；7.0×10²⁷ 是”精确到十分位的 7”。

计算器和程序用字母 E 写同样的东西：7e27 就是 7×10²⁷。

♠ 技术

任何实数 x ≠ 0 都可以唯一地写成 x = a·10ⁿ，其中 1 ≤ |a| < 10，n ∈ ℤ。取对数，log₁₀|x| = n + log₁₀|a|，且 0 ≤ log₁₀|a| < 1：指数是对数的整数部分，n = ⌊log₁₀|x|⌋，尾数保存小数部分。科学记数法就是一张随身对数表，所以乘法变成了指数相加。

有效数字藏在尾数里：7×10²⁷ 只给出一位有效数字，7.0×10²⁷ 给出两位。把它写成 7 后面 27 个零，看起来像是声称 28 位都准确，其实没人知道。

计算机用的是同一个思路，只不过是二进制。双精度数（IEEE 754）保存 53 位二进制尾数和一个指数：最大值为 2¹⁰²⁴ − 2⁹⁷¹ ≈ 1.8×10³⁰⁸，整数只在 2⁵³ − 1 以内是精确的（MDN）。10²⁷ 完全放得下，但在 JavaScript 里 7e27 + 1 === 7e27 的结果是 true：那个 1 低于精度，丢了。

♣ 新手

三个零一组，就有一个名字，你已经在不知不觉中用了好几个：

• **千（k）**是一千：一千米就是一公里。
• **兆（M）**是一百万：1200 万像素的照片有 1200 万个点。
• **吉（G）**是十亿：1 GB 是十亿字节。
• **太（T）**是一万亿：1 TB 的硬盘能存一万亿字节。

每上一级都乘以 1000。

这里有个只有中文才会碰到的陷阱：词头三个零一组，而中文数数是四个零一组：万（10⁴）、亿（10⁸）。所以换算总要多想一步：英文的 million 是”百万”，billion 是”十亿”，trillion 是”万亿”。另外，“兆”现在表示一百万（兆瓦、兆字节），但在古代指万亿，读旧书时要小心。

♦ 进阶

词头是加在单位前面、把它乘以 10 的某次幂的字。每个词头都有一个一个字母的符号（十 da 是两个字母）。国际单位制（SI）一共有 24 个。

两端的四个，ronna、quetta、ronto 和 quecto，是 2022 年新加的，因为全世界的数据量很快就会超过 10²⁴。

有两个细节很重要：

• 小写和大写不一样：m 是毫（千分之一），M 是兆（一百万）。1 mm 和 1 Mm 之间差十亿倍。
• 千永远是 1000。 计算机领域有时把”千”当 1024 用，但其实有专门的词头 kibi（Ki）。GiB 和 GB 相比，前者大 7.4%。

♠ 技术

24 个 SI 词头都是 10³ 的幂，只有百、十、分、厘（10²、10¹、10⁻¹、10⁻²）因为习惯而保留。第 27 届国际计量大会（2022）新增了 R、Q、r 和 q，明确的理由有两个：数据科学很快就需要表示超过 10²⁴ 的量，而且要赶在非官方名称流行开来之前给出正式名称。

《国际单位制手册》规定了三条常被违反的规则：

• 词头符号和单位符号组成不可分割的符号，乘方同时作用于两者：1 km² = (10³ m)² = 10⁶ m²，而不是 10³ m²。同样，2.3 cm³ = 2.3×10⁻⁶ m³。
• **词头不能叠加：**写 nm，不写 mµm。
• 千克是唯一自带词头的基本单位，所以它的倍数加在”克”上：10⁻⁶ kg 写作 mg，不写 µkg。

SI 词头严格表示 10 的幂：“1 千比特是 1000 比特，不是 1024 比特”。2 的幂有自己的词头，从 kibi（2¹⁰）到 quebi（2¹⁰⁰），定义在 IEC 80000-13 中。数越大，差别越大：kibi 比 kilo 大 2.4%，gibi 比 giga 大 7.4%，quebi 比 quetta 大 26.8%……不过最后这个目前还没人碰到。

♣ 新手

“一百万”和”十亿”听起来都只是”很多”。想感受区别，把它们换成时间：

• 一千秒约 17 分钟：一杯咖啡的工夫。
• 一百万秒将近 12 天：一次假期。
• 十亿秒将近 32 年：半辈子。
• 一万亿秒约 31700 年。

一百万和十亿之间的差距，就像一次假期和半辈子之间的差距。阶梯每上一级都是乘以 1000。

所以比较差别很大的东西时，要看它们有几个零，而不是看数字本身。零的个数相同，就算一个是另一个的两倍，也算”同一个量级”。

♦ 进阶

一个数的数量级是离它最近的 10 的幂。一个人身高的数量级是 10⁰ 米（一米），地球的直径是 10⁷ 米的数量级，可观测宇宙是 10²⁶ 米的数量级。相差一个数量级，就是相差十倍。

要把它们画在一起，就用对数刻度：每一格都乘以同样的倍数，比如乘以 10 或乘以 1000。在从 0 到十亿的普通（线性）尺子上，一百万只在千分之一的位置：紧贴着零。而在对数刻度上，一千、一百万和十亿间隔相等，因为每两个之间都是乘以 1000。

两种尺子都有用，用途不同。线性尺子显示差值（“多多少”），对数尺子显示比值（“是多少倍”）。

2013 年的一项研究请美国成年人把大数字放到线性尺子上。大约一半的人放对了。其余的人几乎都把一百万放在中间附近，好像一千、一百万和十亿间隔相等：他们跟着词走，而不是跟着数走。

♠ 技术

令 u = log₁₀ x，乘以 k 就是平移固定距离 log₁₀ k。对数刻度把比值变成差值，把幂变成斜率：在双对数坐标里，y ∝ xᵖ 是一条斜率为 p 的直线。

OpenStax 把数量级定义为 round(log₁₀ x)。注意阈值：四舍五入的分界在 √10 ≈ 3.16，而不是 5。所以 9000 的数量级是 4，尽管它的科学记数法指数是 3。按这个规则，质子（10⁻¹⁵ 米）和可观测宇宙（10²⁶ 米）相差 log₁₀(10²⁶/10⁻¹⁵) = 41 个数量级。

Landy、Silbert 和 Goldin（《认知科学》，2013）发现，大约一半的参与者把 10³ 到 10⁹ 的数按线性放置，其余几乎都采用分段线性启发：在同一个词内部（“百万""十亿”）是线性的，而不同的词之间等距排列。分段组对无效的政策策略也更乐观。作者把原因归于数词的词汇结构，而不是计算能力差。

♣ 新手

你的心脏一辈子要跳多少次？不知道答案，也能粗略算出来：

1. 心脏大约每秒跳一次。
2. 80 年大约是 25 亿秒。
3. 相乘：大约 25 亿次心跳。

这不精确。可能是 20 亿，也可能是 30 亿。但肯定不是 2000 万，也不是 2000 亿。你把零的个数算对了，而比较大小时，这才是关键。

这叫费米估算，以物理学家恩里科·费米命名。诀窍是把一个无从下手的问题拆成你知道的小块，再乘起来。

♦ 进阶

费米方法有四条规则：

1. 把问题拆成因子，每个因子都能大致确定。
2. 不知道某个因子，就在合理的最小值和最大值之间夹住它，取中间的值。
3. 只保留一位数字：你要的是零的个数，不是小数。
4. 最后拿已知的东西核对。

它比看上去更管用，因为误差会部分抵消：一个因子估高了，另一个估低了，乘积反而更接近。

现在回到开头的问题：7×10²⁷ 是怎么来的？ 要数原子，就需要摩尔：一包 6×10²³ 个东西，就像”一打”是一包 12 个。一摩尔水大约重 18 克，每个水分子有 3 个原子（两个氢、一个氧）。

假设一个 70 千克的人全是水：70000 克 ÷ 18 克 ≈ 3900 摩尔水，× 3 ≈ 11700 摩尔原子，× 6×10²³ ≈ 7×10²⁷ 个原子。这和发表过的人体估算一致。如果用真实的成分（按质量算，氧和碳更多，它们更重），得到 6.7×10²⁷：零的个数一样。

♠ 技术

费米估算是一个乘积 N = Π fᵢ，在对数刻度上就是一个和：log N = Σ log fᵢ。如果每个因子都有独立的乘性误差，其对数的标准差为 σ，总误差按 √n·σ 增长，而不是 n·σ。五个因子都”准到 2 倍以内”时，结果通常在 2^√5 ≈ 4.7 倍以内：仍在同一个数量级。

对于夹在 x_min 和 x_max 之间的未知因子，几何平均 √(x_min·x_max) 就是对数刻度上的中点。OpenStax 用它估算驼鹿的质量：在 10² 到 10³ 千克之间，约 3×10² 千克。

70 千克人体的原子数，用两个独立的模型：

• **全当成水：**70000 / 18.015 × 3 × N_A = 7.0×10²⁷。
• 按质量成分（O 61%、C 23%、H 10%、N 2.6%，WebElements）和常规原子量：6.7×10²⁷。其余 3.4% 是重原子（Ca、P、K……），对总数的贡献不到 1%。

两者都和 Freitas 给出的 ≈ 7×10²⁷（《纳米医学》第一卷，3.1）相符。自 2019 年 SI 重新定义以来，阿伏伽德罗常数是精确值，所以全部不确定性都来自模型，而不是 N_A。