向量就是一个箭头，或者说，一串数：横着走多远，竖着走多远。人工智能的课里到处都是向量，它们还带来了四个新符号。最重要的那个，用勾股定理就够了。
‖x‖ ‖x‖：箭头的长度
- 读作
- 读作“x 的范数”或“x 的模”。
- 意思是
- 向量两边加双竖线，表示它的长度。在二维里，就是勾股定理：‖(3, 4)‖ = √(3² + 4²) = 5。
箭头横着走 3、竖着走 4，长度就是 5：两条直角边为 3 和 4 的三角形的斜边。数更多时也一样：把所有数的平方加起来，再开平方。
课程里的例子 · 出自 电脑怎样把照片变成数字？
‖x‖ = √(Σᵢ xᵢ²)：n 维空间里的勾股定理。
xᵀ xᵀ：转置
- 读作
- 读作“x 转置”。
- 意思是
- 右上角的小 T 把向量放倒：原来竖着排成一列，现在横着排成一行。对于表格（矩阵），就是行和列互换。
数还是那些数，只是摆法变了。之所以重要，是因为表格相乘时形状必须对得上。wᵀx 是 w 和 x 的点积的正式写法：每一对相乘，再加起来。
课程里的例子 · 出自 逻辑回归还是神经网络？其实是同一个神经元
z = wᵀx + b：一个神经元的得分。
∈ ∈：属于
- 读作
- 读作“属于”或“是一个”。x ∈ ℝ 读作“x 是一个实数”。
- 意思是
- 一个圆润的 E，表示左边的东西是右边那个集合里的一员。划掉的 ∉ 表示“不属于”。
它是说明某样东西是什么类型的简写。3 ∈ ℤ：3 是整数。½ ∉ ℤ：二分之一不是。
课程里的例子 · 出自 逻辑回归还是神经网络？其实是同一个神经元
w ∈ ℝᵈ：权重是一串 d 个实数。
ℝ ℤ ℝ、ℤ、ℚ、ℕ：数集
- 读作
- ℝ：“实数集”。ℤ：“整数集”。ℚ：“有理数集”。ℕ：“自然数集”。
- 意思是
- 带双线的字母，是一类类数的名字：自然数（0、1、2……）、整数（包括负数）、有理数（分数）和实数（数轴上的所有数，包括 √2 和 π）。
这些你在学校里都学过，只是没用这些字母。ℝⁿ 表示“由 n 个实数组成的一串”：ℝ² 是平面上的点，ℝ⁷⁸⁴ 是把 28 × 28 像素的照片拉平成的一串数。
课程里的例子 · 出自 电脑怎样把照片变成数字？
x ∈ ℝⁿ，由 n 个实数组成。
动手试试
拖动箭头的两步，看看它的长度怎么变，竖着写和放倒写各是什么样。找找其他长度是整数的箭头，比如 (3, 4)。
挑战
参考资料
- 范数、转置、∈ 以及数集 ℕ、ℤ、ℚ、ℝ：ISO 80000-2:2019, Quantities and units — Part 2: Mathematics（iso.org）。
这张卡片是怎么做的： 在 Claude 的帮助下根据上面的资料撰写，并从西班牙语原文翻译。例子摘自本站的课程。插图是原创的。