10³ 是一千，这你已经知道了。那 10⁻³ 呢？贴在数字后面的 mol⁻¹ 又是什么？在学校里，乘方几乎总是往上走；在科学里，它也会往下走，对数就是从这里来的。
10⁻³ 负指数：表示除
- 读作
- 10⁻³ 读作“10 的负 3 次方”。
- 意思是
- 负指数表示除：10⁻³ = 1 / 10³ = 1/1000 = 0.001。
10³ 是把 1 乘以 10 乘三次，10⁻³ 就是把 1 除以 10 除三次。这样写很小的数，就不用写满一页的零：3×10⁻⁴ 就是 0.0003。
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fl(x) = x(1 + δ)，|δ| ≤ u = 2⁻⁵³：舍入误差不超过 1 / 2⁵³，大约是一亿亿分之一。
J/(mol·K) 复合单位：mol⁻¹ 和 J/(mol·K)
- 读作
- J/(mol·K) 读作“焦耳每摩尔每开尔文”。mol⁻¹ 读作“每摩尔”。
- 意思是
- 带斜线或带 −1 次方的单位表示“每”：kJ/mol 是每摩尔多少千焦。mol⁻¹ 和 /mol 是一回事。
单位和数一样可以相乘相除。J/(mol·K) 是每摩尔、每开尔文多少焦耳：括号里的点表示“和”，括号把分母上的东西括在一起。除以一个量等于乘以它的 −1 次方，所以 mol⁻¹ 就是“每摩尔”。
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N_A = 6.022 140 76×10²³ mol⁻¹：每摩尔有这么多个粒子。
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R = 8.314 J/(mol·K)：气体常数。
h⁽ˡ⁾ 带括号的上标：不是乘方
- 读作
- h⁽ˡ⁾ 读作“第 l 层的 h”。
- 意思是
- 写在右上角、带括号的数字或字母是一个标签，像是搬到楼上去的下标，免得和已有的下标撞在一起。
神经网络有很多层，每一层都有自己的数。h⁽¹⁾ 是第一层的，h⁽²⁾ 是第二层的。括号提醒你：上面这个数不是乘方。
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h⁽ˡ⁾ = σ(z⁽ˡ⁾)：第 l 层的输出。
e 数 e 和指数函数
- 读作
- “e”，欧拉数。e^(−t/τ) 读作“e 的负 t 除以 tau 次方”。exp(x) 和 eˣ 是一回事。
- 意思是
- e ≈ 2.718 是一个数，就像 π。它的乘方 eˣ 描述的是增长或衰减速度和现有多少成正比的东西。
当某个量按自身的比例变化时，就会出现它：利滚利的存款，越烫凉得越快的一杯茶，或者有多大比例的分子能量足够发生反应。指数很长时，就写成 exp(…)，读起来更清楚。
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k = A·e^(−Eₐ/RT)：温度越高，带着足够能量的碰撞越多。
log 对数：要乘几次？
- 读作
- log₁₀ 1000 读作“以 10 为底 1000 的对数”。ln 是以 e 为底的对数。
- 意思是
- 对数是把乘方倒过来问：底数要乘方几次才能得到这个数？log₁₀ 1000 = 3，因为 10³ = 1000。
对于很大或很小的数，对数就是在数零：log₁₀ 1 000 000 = 6，log₁₀ 0.001 = −3。所以它能把乘法变成加法，也能把大小相差悬殊的东西放进同一张图。log₂ 是以 2（计算机用的底）为底，ln 是以 e 为底。
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ln k = ln A − (Eₐ/R)(1/T)：取了对数，阿伦尼乌斯曲线就变成了直线。
⌊x⌋ 向下取整：⌊x⌋
- 读作
- ⌊x⌋ 读作“x 向下取整”。
- 意思是
- 只有下面两只脚的括号表示向下取整：⌊3.7⌋ = 3，⌊−1.2⌋ = −2。
它取的是紧挨在下面的那个整数。和对数搭配，可以得到一个数小数点前有几位，再减一。
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n = ⌊log₁₀ |x|⌋：科学记数法的指数就是对数的整数部分。
动手试试
把指数从 −9 拖到 9，看看小数、分数和词头怎么变，并注意：以 10 为底的对数正好就是指数。
挑战
参考资料
- 乘方、e、exp、log、ln 和向下取整：ISO 80000-2:2019, Quantities and units — Part 2: Mathematics（iso.org）。
- 复合单位的写法和国际单位制词头（表 7）：BIPM, The International System of Units（SI Brochure），第 9 版，2019（bipm.org）。
这张卡片是怎么做的： 在 Claude 的帮助下根据上面的资料撰写，并从西班牙语原文翻译。例子摘自本站的课程。插图是原创的。