能无中生有吗？轻松搞懂守恒定律

♣ 新手

想想做菜。往炒蛋里放三个鸡蛋，炒蛋里就有三个鸡蛋。打散了、炒熟了、形状变了，但三个都在。不会冒出第四个，也不会少掉一个。

原子也一样。在化学反应里，比如做饭、燃烧、生锈，原子会分开，再换一种方式重新组合。但它们是同样的那些原子：一个都没有多出来，一个都没有丢。所以进去的东西和出来的东西一样重。

那木头呢？木头燃烧时会从空气里拿走氧气，而它几乎所有的原子都变成看不见的气体，从烟囱飘走了，也就是烟。壁炉里只剩下灰。如果能把火堆装进一个密封的袋子里，烧之前和烧之后各称一次，重量是一样的。

♦ 进阶

1789 年，安托万·拉瓦锡在研究葡萄汁怎样变成葡萄酒时，在《化学基础论》里写道：

“无论在人工操作中还是在自然界中，都没有任何东西是凭空产生的；可以把这一点当作原理：在每一次操作中，操作前和操作后的物质的量相等。“（本站译文）

这就是质量守恒定律。拉瓦锡甚至写了一个类似方程的式子：葡萄汁 = 碳酸气 + 酒精。今天我们用化学式来写。厨房燃气的主要成分甲烷是这样燃烧的：

CH₄ + 2 O₂ → CO₂ + 2 H₂O

每种物质前面的数表示有多少个分子参加反应或生成。选这些数，是为了让两边每种元素的原子一样多，这叫配平反应。这里反应前后都是 1 个碳、4 个氢、4 个氧。

如果每个数代表 1 摩尔，质量就是把每种物质的1 摩尔的质量加起来（见原子那一课）：16 克甲烷和 64 克氧气，生成 44 克二氧化碳和 36 克水。反应前 80 克，反应后 80 克。

关键在于在哪里称。这条定律在封闭系统里成立，也就是没有东西进出的地方。在敞开的壁炉里，氧气从空气中进来，气体又跑掉了，所以灰才那么轻。

♠ 技术

一个反应写成 Σⱼ νⱼ Xⱼ = 0，反应物的 νⱼ 为负，生成物为正。每种元素 k 守恒，就是对所有 k 有 Σⱼ A_kj νⱼ = 0，即 A·ν = 0。配平反应就是求 A 的零空间。

对甲烷来说，A 是 3 × 4 矩阵，秩为 3，所以零空间是一维的，反应在相差一个倍数的意义下唯一：ν = (−1, −2, 1, 2)。在拉瓦锡的发酵反应 C₆H₁₂O₆ → 2 C₂H₅OH + 2 CO₂ 中，有三种元素、三个物种，但秩是 2，同样只有一个解。当零空间的维数大于 1（物种数多于 rank(A) + 1）时，可能的反应不止一个，由化学而不是代数决定实际发生哪一个。

质量守恒是一个推论。由 Mⱼ = Σₖ mₖ A_kj：

Σⱼ νⱼ Mⱼ = Σₖ mₖ (A·ν)ₖ = 0

这里假设每个原子在分子内外质量相同。这并不精确：化学键的能量也有质量（第 4 部分），但误差只有 10¹⁰ 分之一，没有哪台天平看得出来。OpenStax 的说法是：物质总量没有可检测到的变化（Chemistry 2e，1.2）。

♣ 新手

爬到滑梯顶上。在上面，你因为站得高就有能量，哪怕一动不动。往下滑时，这份”高度的能量”慢慢变成速度：越往下，滑得越快。又因为你和滑梯在摩擦，有一部分变成了一点点热：如果用手刹车，手上就能感觉到。

把所有的加起来（剩下的高度、现在的速度、摩擦产生的热），每一刻的总和都一样。能量不会出现，也不会消失：它只是改变形式。

所以不存在不从别处拿能量就能给出能量的机器。我们说”用掉”能量，其实是把它变成了散到各处的热，这些热再也推不动任何东西。总量并没有变。

♦ 进阶

能量守恒定律说：在任何过程中，总能量都保持不变；能量可以改变形式，也可以从一个系统转到另一个系统，但总量不变（OpenStax，College Physics 2e，7.6）。能量的几种形式：

• 高度的能量，即重力势能：m·g·h，质量乘以重力加速度（g = 9.8 m/s²）再乘以高度。
• 运动的能量，即动能：½·m·v²，v 是速度。
• 热：从热的物体流向冷的物体的能量（见能量那一课）。
• 还有化学能、电能、光能……

举个例子：让 1 千克的东西从 10 米高处落下。在顶上，它有 1 × 9.8 × 10 = 98 焦的高度能量，没有运动能量。落到一半，49 焦和 49 焦。快落地时，98 焦全是运动能量：速度是每秒 14 米。撞到地面它就停了，这 98 焦变成了热和声音。

还有一种改变物体能量的方式：推它或拉它，这叫功。物体内部储存的能量（原子的振动、化学键）叫内能。加热它或对它做功，内能就会增加。所以没有哪台机器能不从别处拿能量就给出能量。

♠ 技术

在热力学里，能量守恒写成第一定律 ΔU = Q − W，Q 是进入系统的热，W 是系统对外做的功。OpenStax 称之为”以热力学中最有用的形式表述的能量守恒定律”（College Physics 2e，15.1）。一台机器如果在每个循环中（ΔU = 0）不吸热（Q = 0）却对外做功（W > 0），就违反了它：这就是第一类永动机。

在相对论里，只要把账算对，能量依然守恒：质量为 m 的物体，除了动能 K，还有静能 mc²（OpenStax，28.6）。于是 E = mc² + K。第 4 部分会讲它的后果。

为什么能量守恒？因为一种对称性。埃米·诺特在 1918 年证明：物理规律的每一种连续对称性，都对应一个守恒量。如果规律从 t 到 t + τ 不变（同一个实验今天做和明天做结果一样），能量就守恒。费曼在《物理学讲义》（I，52-3）里讲过这件事，还讲了另外两种经典对称性：空间的和转动的。

♣ 新手

拿气球在毛衣上蹭一蹭，它就能粘在墙上。蹭的时候，一些带负电的电子从毛衣跑到了气球上。气球多了负电荷，毛衣正好少了同样多。

这就像两个玩家互相传牌：一个多了，一个少了，但桌上的牌总数不变。电荷不是被创造出来的，而是从一个地方转移到另一个地方。把气球和毛衣加在一起，总电荷还是零。

在原子那一课里你看到，质子数决定是哪种元素。在厨房里，就像做炒蛋一样，每种元素的原子都不会变。要改变元素，就得动原子核，那就不是化学了。但即使在那里，也有几本账照样对得上：总电荷，以及质子和中子加起来的总数。

♦ 进阶

电荷守恒定律说：在任何过程中，总电荷都保持不变（OpenStax，College Physics 2e，18.1）。两个物体互相摩擦时，一个得到的电荷就是另一个失去的电荷。

在化学里，电荷守恒要求有离子参加的反应在电荷上也要配平：一个钠原子失去一个电子，Na → Na⁺ + e⁻，反应前电荷是 0，反应后是 +1 − 1 = 0。

在核反应里，元素是可以变的。原子那一课里的碳-14 会放出一个电子而衰变（OpenStax，Chemistry 2e，21.3）：

¹⁴C → ¹⁴N + e⁻ + 反中微子

原子核里的一个中子变成了一个质子：原来有 6 个质子，现在有 7 个，所以变成了氮。但有两本账依然对得上，它们也是配平任何核反应的规则（OpenStax，21.2）：

• 质子 + 中子：反应前 14，反应后 14。电子和反中微子（一种不带电、几乎没有质量的粒子）在这里不算。
• **电荷：**反应前 +6；反应后 +7 − 1 = +6。

那如果一个质子或电子就这么凭空消失呢？人们找了几十年，从来没有见到过：就算会发生，电子平均也要等 10²⁸ 年以上，而宇宙的年龄大约是 10¹⁰ 年。

♠ 技术

在粒子物理中，要分别检查三个数（OpenStax，University Physics 第 3 卷，11.2）。以 n → p + e⁻ + ν̄ₑ 为例：

反应 n → e⁺ + e⁻ 守恒电荷和能量，但不守恒 B（1 对 0），所以不会发生。

实验下限（PDG 2024，Pich 和 Ramsey-Musolf 撰写的综述）：

• **电荷：**τ(e → νₑγ) > 6.6×10²⁸ 年，来自 Borexino 实验（PRL 115, 231802, 2015）。大约是宇宙年龄的 4.8×10¹⁸ 倍。PDG 把电荷守恒和量子电动力学的规范对称性联系在一起。
• **重子数：**任意衰变道中 τₚ > 9×10²⁹ 年，τ(p → e⁺π⁰) > 2.4×10³⁴ 年。大统一理论预言 B 会被破坏，但至今没有看到任何信号。

所以化学里的”元素守恒”只是一个特例：没有核反应时，每个原子核都保持自己的 Z。有核反应时，守恒的是电荷和 B。

♣ 新手

到这里，好像有两本分开的账：质量的账和能量的账。爱因斯坦发现，它们其实是同一本。质量是压缩得非常非常紧的能量。

有多少？多得惊人。仅仅 1 克质量，如果全部变成能量，够一个人吃大约 29000 年，或者让一个电水壶不停地烧大约 1400 年。

那为什么我们感觉不到？因为在日常生活中，几乎没有质量会转化。烧厨房燃气时，出来的东西比进去的轻了大约 80 亿分之一：这就是以热的形式离开的质量。没有哪台天平称得出来，所以在实际中拉瓦锡是对的。

那么无中生有呢？物质是可以造出来的，但不是从无中造：必须用能量把它全额买下来，而且它总是和一个电荷相反的”双胞胎”一起出现，让电荷的账保持为零。

♦ 进阶

公式是 E = mc²：质量 m 所携带的能量，c 是光速，恰好为 299 792 458 m/s。因为 c² 非常大，约为 9×10¹⁶ m²/s²，所以 1 克质量相当于 9×10¹³ 焦（OpenStax，College Physics 2e，28.6）。物体静止时的这份能量叫静能。

这条关系是双向的。物体得到能量，质量就增加；放出能量，质量就减少。消失的质量为 Δm = E / c²：

• 把 1 升水烧开，要给它 334 千焦（见能量那一课）：它会重 3.7 纳克。
• 烧掉 1 摩尔甲烷会放出 890 千焦：80 克燃气加氧气会少 9.9 纳克，也就是 80 亿分之一。

在核反应里，这个比例已经大到可以测量。参加反应的质量中，有多少变成了释放的能量：

至于”无中生有”：一束能量足够高的光，在原子核附近经过时，可以变成一个电子和一个正电子（电子的反粒子，带正电）。这叫电子-正电子对：总电荷还是零（OpenStax，18.1）。至少需要两个粒子的静能之和，即 1.022 MeV（能量那一课里的电子伏特，再乘以一百万）。

♠ 技术

一般关系是 E² = (pc)² + (mc²)²；静止时（p = 0）变为 E₀ = mc²，对光子（m = 0）则是 E = pc（OpenStax，28.6）。爱因斯坦在 1905 年提出它，那篇论文只有三页，标题问的是：物体的惯性（质量）是否取决于它所含的能量（Ann. Phys. 323, 639）。他用的是别的字母：一个物体以辐射的形式放出能量 L，质量就减少 L/V²，V 是光速。

用 Q = Δm·c² 计算质量亏损：

• **甲烷燃烧：**ΔcH° = −890.7 ± 0.4 kJ/mol（NIST WebBook；OpenStax 给出 −890.8）。Δm = 8.907×10⁵ J / c² = 每摩尔 9.9×10⁻¹² kg，相对于 80.04 克反应物：1.24×10⁻¹⁰。
• **²³⁵U 的诱发裂变：**Q ≈ 200 MeV（OpenStax UP3，10.5）。Δm/m = 200 / [(235.0439 + 1.0087) × 931.494] = 9.1×10⁻⁴。
• **²H + ³H → ⁴He + n：**Q = 17.6 MeV（OpenStax UP3，10.6）。用 NIST 的质量，Δm/m = 17.6 / (5.0302 × 931.494) = 3.8×10⁻³。

电子对产生守恒电荷（0 = −1 + 1）和 Lₑ（0 = 1 − 1）。单个光子在真空中做不到：在这一对粒子的参考系里，总动量为零，而光子在任何参考系里动量都不为零（E = pc ≠ 0）。必须有第三个物体带走多余的动量，通常是原子核：γ + N → e⁻ + e⁺ + N。NIST 的 XCOM 表格计算的正是“在原子核场中”和在电子场中的电子对产生。反过来也是同一个道理：电子和正电子不能湮灭成单个光子（OpenStax UP3，11.2）。原子核很重，几乎不带走能量，所以阈值仍是 2mₑc² = 2 × 0.510 998 950 69 MeV = 1.022 MeV（CODATA 2022；HyperPhysics 给出相同的阈值）。所以”无中生有”做不到：能量要全额付清，电荷、B 和 L 的账都保持为零。