Derivadas e integrales: suenan a bachillerato y a sufrimiento. Para leer las lecciones no tienes que calcular ninguna, solo entender qué preguntan. Y lo que preguntan ya lo sabes: «¿a qué velocidad voy?» y «¿cuánto he recorrido?».
dE/dt d/dt y la prima: el ritmo de cambio
- Se lee
- dE/dt se lee «de E de t» o «derivada de E respecto del tiempo». σ′ se lee «sigma prima».
- Significa
- Cuánto cambia algo por cada trocito de tiempo (o de lo que vaya abajo), en un instante concreto. Es ΔE/Δt con un Δt tan pequeño como quieras.
El velocímetro de un coche no mide la velocidad media de todo el viaje, sino la de ahora mismo. Eso es una derivada: Δd/Δt con un Δt tan pequeño que casi es cero. La d minúscula de dE/dt es una Δ «en miniatura». La prima, como en σ′, es otra forma de escribir lo mismo.
Ejemplo real · en la lección ¿Julios, vatios o calorías? Energía y potencia sin miedo
P = dE/dt (instantánea); P̄ = ΔE/Δt (media).
∂ ∂: la derivada parcial
- Se lee
- «de parcial» o «de redonda». ∂L/∂w se lee «derivada parcial de L respecto de w».
- Significa
- Lo mismo que d/dt, pero cuando algo depende de muchas cosas a la vez: cambias una sola y dejas quietas las demás.
En una red neuronal, el error depende de miles de pesos. ∂L/∂w pregunta: si muevo solo este peso un poquito, ¿cuánto cambia el error? Así se sabe hacia dónde girar cada rueda.
Ejemplo real · en la lección ¿Regresión logística o red neuronal? Es la misma neurona
σ′(z) = σ(z)(1 − σ(z)): la pendiente de la sigmoide, la pieza que usa ∂L/∂W al entrenar.
∇ ∇: el gradiente
- Se lee
- «nabla» o «gradiente de». ∇L se lee «gradiente de L».
- Significa
- Un triángulo boca abajo que junta todas las derivadas parciales en una flecha. Esa flecha apunta hacia donde algo sube más deprisa.
Imagina que estás en una montaña con niebla. ∇ te dice hacia dónde está la subida más empinada. Para bajar, vas justo al revés: −∇. Así aprende una red neuronal, bajando paso a paso por la montaña del error.
Ejemplo real · en la lección ¿Regresión logística o red neuronal? Es la misma neurona
−∇L = −Xᵀ(p − y)/n: hacia dónde baja el castigo.
∫ ∫: la integral
- Se lee
- «integral de». ∫ P(t) dt se lee «integral de P de t, de t».
- Significa
- Una S estirada, de «suma». Suma muchísimos trocitos muy finos: es el área bajo una curva.
Si sabes a qué velocidad vas en cada instante, ¿cuánto has recorrido? Partes el viaje en trocitos de tiempo, multiplicas velocidad por tiempo en cada uno y lo sumas todo. Cuanto más finos los trocitos, más exacto. La integral es esa suma con trocitos infinitamente finos. La dt del final dice en qué se trocea.
Ejemplo real · en la lección ¿Julios, vatios o calorías? Energía y potencia sin miedo
E = ∫ P(t) dt: la energía es la potencia acumulada a lo largo del tiempo.
Prueba tú
Un coche acelera, y en t segundos ha recorrido t² metros. En «ritmo de cambio», haz más pequeño el salto Δt y mira cómo la velocidad media se acerca a 4 m/s, la del velocímetro en t = 2 s. En «acumular», pon más rectángulos bajo la velocidad y mira cómo la suma se acerca a 9 m.
Reto
Fuentes
- d/dt, la prima, ∂, ∇ y ∫: ISO 80000-2:2019, Quantities and units — Part 2: Mathematics (iso.org).
- Derivada como límite de la velocidad media e integral como límite de sumas de rectángulos: G. Strang, Calculus, 3.ª ed., Wellesley-Cambridge Press, 2017, capítulos 2 y 5 (MIT OpenCourseWare).
Cómo está hecha esta ficha: redactada con ayuda de Claude a partir de las fuentes de arriba. Los ejemplos están copiados de las lecciones de la web. Los números del widget (4 m/s y 9 m) salen de d = t² y los comprueba un test. Los dibujos son propios.